p/q రూపంలో రాయలేని సంఖ్యలు?

P/Q రూపంలో గల సంఖ్యలను అకరణీయ సంఖ్యలు అని అంటారు. ప్రతీ అకరణీయ సంఖ్యను అంతంగల, అంతంలేని ఆవర్తన దశాంశ భిన్నంగా రాయవచ్చు. -అంటే పూర్ణసంఖ్యలు, భిన్నాల సమ్మేళనాన్ని...

సంఖ్యల్లోని రకాలు
సహజ సంఖ్యలు
-లెక్క పెట్టడానికి వీలయ్యే సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అని అంటారు.
-ఈ సంఖ్యా సమితిని N తో సూచిస్తారు.
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . }
-అతిచిన్న సహజ సంఖ్య = 1
-అతి పెద్ద సహజ సంఖ్య = చెప్పలేం

పూర్ణాంకాలు
-సహజ సంఖ్యా సమితికి 0 చేర్చితే ఏర్పడే సంఖ్యా సమితిని పూర్ణాంకాలు అని అంటారు.
-ఈ సంఖ్యా సమితిని W తో సూచిస్తాం.
W = {0, 1, 2, 3, . . . . . }
-అతి చిన్న పూర్ణసంఖ్య= 0
-అతి పెద్ద పూర్ణసంఖ్య= చెప్పలేం.
-0 ను కనుగొన్నది ఇండియన్లు (పేరు లేదు).

పూర్ణసంఖ్యలు
-ధన సంఖ్యలు, రుణ సంఖ్యలు, 0ను కలిపి పూర్ణసంఖ్యలు అంటారు.
-ఈ సంఖ్యా సమితిని Z లేదా I తో సూచిస్తారు.
Z = {. . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }
-ధన పూర్ణసంఖ్యలు = {1, 2, 3, . . . }
-రుణపూర్ణసంఖ్యలు = {-1, -2, -3, . . . }
-రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు = {0, 1, 2, 3, . . . }
గమనిక: రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలను పూర్ణాంకాలు అంటారు.

అకరణీయ సంఖ్యలు
-P/Q రూపంలో గల సంఖ్యలను అకరణీయ సంఖ్యలు అని అంటారు. (ఇక్కడ q 0, p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు)
-ప్రతీ అకరణీయ సంఖ్యను అంతంగల, అంతంలేని ఆవర్తన దశాంశ భిన్నంగా రాయవచ్చు.
-అంటే పూర్ణసంఖ్యలు, భిన్నాల సమ్మేళనాన్ని అకరణీయ సంఖ్యా సమితి అంటారు. వీటిని Qతో సూచిస్తారు.
Q = {x/x =p/q, p, q U z, q 0}

కరణీయ సంఖ్యలు (Q1)
-/q రూపంలో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అని అంటారు. (ఇక్కడ q 0, p, p లు పూర్ణ సంఖ్యలు)(లేదా)
-అంతం, ఆవర్తనం కాని దశాంశాలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు.
-వీటిని Q1 తో సూచిస్తారు.
ఉదా: 2, 3, 5, …..
2 = 1.4142135…….. ; 3 = 1.7320508…..; 5 = 2.2360680….
గమనిక: p అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య.
[p=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286……]
-మార్చి 14ను p దినోత్సవంగా జరుపుకుంటారు.
వాస్తవ సంఖ్యలు (R):
-అకరణీయ, కరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు.
R = QUQ1

సరి సంఖ్యలు
-2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే, ఏ సహజ సంఖ్యలనైనా సరిసంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా: 2, 4, 6, 8, 10, …….
-సరిసంఖ్యల మొత్తం= n(n+1)

బేసి సంఖ్యలు:
-2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడని సంఖ్యలను బేసి సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా: 1, 3, 5, 7, 9, ……
-బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n2

ప్రధాన (లేదా) అభాజ్య సంఖ్యలు:
-1-100 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు 25 వీటిని కనునగొనడానికి 5, 6 తరగతుల్లో ఎర్తసటోనీస్ జల్లెడని నేర్చుకున్నాం. అది ఎలా అంటే 1-100 వరకు గల సంఖ్యలు ఒక్కో వరుసలో 10 సంఖ్యలు చొప్పున రాసి త తర్వాత (1) కొట్టేసి, 2 Round చుట్టి తర్వాత 2 గుణిజాలన్నింటిని Cancel చేసి తర్వాత 3 ను చుట్టి 3 గుణిజాలన్నింటిని Cancel చేసుకుంటూ పోతే …. అలాగే చివరి వరకు కొనసాగిస్తూ వెళ్ళితే మిగిలినవి ప్రధాన సంఖ్యలు కాని దీని కోసం చాలా సమయం వెచ్చించాల్సి ఉంటుంది.
-ఒక కొత్త విధానం ద్వారా 1-100 వరకు కేవలం 34 సంఖ్యలు మాత్రమే రాసి, వాటిలో 9 సంఖ్యలను కొట్టివేయగా మిగిలినవే 1-100 వరకు గల ప్రధాన సంఖ్యలు.
-పద్ధతి పేరు ARPI METHOD.
పద్ధతి:1. 4×4 చతురస్రాకార boxని గీయండి.
2. వీటిలో ఒక్కోదానిలో రెండేసి సంఖ్యలు వస్తాయి. మిగిలిన రెండు box బయట ఉంటాయి.
3. మనకు తెలిసిన మొదటి మూడు ప్రధాన సంఖ్యలు రెండు బయట, తర్వాతది box లోపల రాయాలి.
4. ఒక్కో సంఖ్యకు +2, +4 చేసుకుంటూ పోవాలి.
5. ఆ తర్వాత వచ్చిన సంఖ్యలలో 5 గుణిజాలు (5 కాకుండా) 7 గుణిజాలు (7 కాకుండా) కొట్టివేయాలి.
6. ఇప్పుడు మిగిలిన సంఖ్యలన్నింటిని box కింద రాయండి. అవే (1-100) వరకు గల ప్రధాన సంఖ్యలు.
-పైన తెల్పిన పద్ధతిని కింది విధంగా చూపిస్తున్నాం. దీని ద్వారా Simple గా 1-100 వరకు గల ప్రధాన సంఖ్యలను తెలుసుకోండి.
-ఇప్పుడు మనం (1-10)లోపు (10-20) లోపు, (20-30) …. (90-100) లోపు ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలుంటాయో కనుక్కోవడం గురించి తెలుసుకోవచ్చు.
-దీనికోసం ఒక Simple technique వాడతాం.
-వీటి కోసం A-1, B-2, C-3, D-4 ఆంగ్ల వర్ణమాల ప్రకారం నంబరింగ్ గుర్తించుకోవాలి.
అది DD BBC BBC BA (అంటే ఆంగ్ల వర్ణమాల ప్రకారం పై వాటి విలువలు ఇవ్వాలి)
D >(1-10) లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 4 అవి 2, 3, 5, 7
D >(10-20) లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 4 అవి 11, 13, 17, 19
B >(20-30)లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 2 అవి 23, 29
B >(30-40) లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 2 అవి 31, 37
C >(40-50) లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 3 అవి 41, 43, 47
B >(50-60) లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 2 అవి 53, 59
B >(60-70) లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 2 అవి 61, 67
C >(70-80) లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 3 అవి 71, 73, 79
B >(80-90)లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 2 అవి 83, 89
A >(90-100) లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు= 1 అవి 97

-పై DD BBC BBC BA techinque గుర్తు పెట్టుకోవడానికి
DD -> మొదటి TV channel in India (దూరదర్శన్)
BBC -> ప్రపంచంలో మొదటి News channel
BBC -> మళ్లీ BBC
BA -> డిగ్రీలో ఒక గ్రూపు

1 నుంచి 100 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 25
101 నుంచి 200 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 21
201 నుంచి 300 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 16
301 నుంచి 400 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 16
401 నుంచి 500 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 17
501 నుంచి 600 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 14
601 నుంచి 700 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 16
701 నుంచి 800 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 14
801 నుంచి 900 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 15
901 నుంచి 1000 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు = 14
-ఒక అంకె గల కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య 2, గరిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య 7.
-రెండంకెల కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య 11, గరిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య 97.
–నాలుగంకెల కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య 1009, గరిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య 9973.
-ఐదంకెల కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య 10007, గరిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య 99991.
-Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) వారు జనవరి 2017 లో కనుగొన్న అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్య 274,207,281 1 ఇందులో 22,338,618 అంకెలు ఉంటాయి.

Sexy prime pairs:
-భేదం 6 కలిగిన ప్రధాన సంఖ్యలను Sexy prime అంటారు. ఉదాహరణకు 5, 11లు ప్రధాన సంఖ్యలు. వాటి భేదం 6. కావున వీటిని Sexy prime అంటారు.
The sexy primes below 500 are
-(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467).
-కెన్ డావిస్ అనే శాస్త్రవేత్త మే 2009 లో కనుగొన్న అతి పెద్ద sexy prime 11,593 అంకెలను కలిగి ఉంది.

Sexy prime triplets
-Sexy primes can be extended to larger constellations. Triplets of primes (p, p + 6, p + 12) such that p + 18 is composite are called sexy prime triplets. Those below 1000 are:
n (5, 11, 17), (7, 13, 19), (17, 23, 29), (31, 37, 43), (47, 53, 59), (67, 73, 79), (97, 103, 109), (101, 107, 113), (151, 157, 163), (167, 173, 179), (227, 233, 239), (257, 263, 269), (271, 277, 283), (347, 353, 359), (367, 373, 379), (557, 563, 569), (587, 593, 599), (607, 613, 619), (647, 653, 659), (727, 733, 739), (941, 947, 953), (971, 977, 983).

-కెన్ డావిస్ అనే శాస్త్రవేత్త 2013 లో కనుగొన్న అతి పెద్ద sexy prime triplet 5132 అంకెలను కలిగి ఉంది.
-As of 2013 the largest known sexy prime triplet, found by Ken Davis had 5132 digits:
Examples of Sexy prime quadruplets
-(5, 11, 17, 23), (11, 17, 23, 29), (41, 47, 53, 59), (61, 67, 73, 79), (251, 257, 263, 269), (601, 607, 613, 619), (641, 647, 653, 659).
-In November 2005 the largest known sexy prime quadruplet, found by Jens Kruse Andersen had 1002 digits:
-In September 2010 Ken Davis announced a 1004-digit quadruplet with p = 23333 + 1582534968299.