సకల శాస్ర్తాలకు రాణిలాంటిది… నాగరికతకు అద్దం వంటిది

గణితం- భావన, నిర్వచనాలు, స్వభావం

• మ్యాథమెటిక్స్‌ అనే ఆంగ్ల భాషా పదం Mathano అనే ప్రాచీన గ్రీకు భాషా పదం నుంచి, Manthaino అనే నవీన గ్రీకు భాషా పదం నుంచి వచ్చింది.
• ఈ గ్రీకు భాషా పదాలకు అర్థం To Learn- నేర్చుకోవడం

Mathano, Manthaino                నేర్చుకోవడం

• మ్యాథమెటిక్స్‌ అనే ఆంగ్ల భాషా పదం Manthenin, Techne అనే గ్రీకు భాషా పదాల నుంచి ఉద్భవించింది.
• గ్రీకు భాషలో Manthenin అంటే నేర్చుకోవడం
• Techne అంటే కళ/ సూక్ష్మ పద్ధతి
• మ్యాథమెటిక్స్‌ అనే ఆంగ్ల భాషా పదం Arsmathematica అనే లాటిన్‌ భాషా పదం నుంచి వచ్చింది.
• Arsmathematica- గణిత కళ (Mathematical Art)
• గణితం గణ్‌ అనే సంస్కృతి భాషా పదం నుంచి ఉద్భవించింది.
• గణ్‌- గణించడం లేదా లెక్కించడం
• హిందీ లేదా పంజాబీ భాషలో గణితాన్ని ‘గణిత’ అని పిలుస్తారు.
• గణిత- గణన శాస్త్రం

1) అరిస్టాటిల్‌- గణితం అంటే పరిమాణ శాస్త్రం (ఈయన కొలతలను ఆధారంగా చేసుకొని ఈ నిర్వచనాన్ని ఇచ్చాడు)
2) ఆగస్ట్‌ కామ్టే- గణితం అంటే పరిక్ష మాపనం (1. ఈయన వివిధ అంశాల మధ్య దూరాన్ని ప్రత్యక్షంగా కొలవలేం అనే అంశం ఆధారంగా ఈ నిర్వచనం ఇచ్చాడు. 2. గ్రహాలు, అణువుల మధ్య దూరాన్ని ప్రత్యక్షంగా కొలవలేం అని చెప్పాడు)
3) అనటోనల్‌ ఫ్రాన్స్‌- లెక్కించని వారు లెక్కలోకి రారు
4) ఆర్యభట్ట- గణితాచార్యునిగా నేను ఈరోజు కనుగొన్న విషయాన్ని మిగతా గణిత ఉపాధ్యాయులు రేపు కనుక్కొంటారు
5) ఆల్ఫ్రెడ్‌ రెన్వీ- నేను సంతోషంగా లేనప్పుడు గణితాన్ని చేస్తాను. సంతోషంగా ఉన్నప్పుడు దాన్ని కొనసాగించడానికి గణితాన్ని చేస్తాను
6) బెంజిమన్‌ పీర్స్‌- గణితం అంటే అవసరమైన నిర్ధారణలను రాబట్టే శాస్త్రం (దీన్ని ఆగమన చింతనావాదం, ఉపపత్తుల ఆధారంగా ఇచ్చిన నిర్వచనం)

• ఆవశ్యక పర్యవసానాలను ఊహించే విజ్ఞానమే గణితం

7) బెంజిమన్‌ ఫ్రాంక్లిన్‌- గణితం అనేది విజ్ఞాన శాస్త్రం కంటే ఉత్తమమైనది, మిన్న అయినది, అద్భుతమైనది. ఇది మానవునికి ఎంతగానో ఉపయోగపడుతుంది.
8) బెల్‌- సంఖ్యలు, రాశుల మాపనమే గణితం
9) బెర్త్‌లాట్‌- భౌతిక పరిశోధనల నుంచి విడగొట్టలేని పరికరమే గణితం
10) బ్రాండ్‌ఫోర్డ్‌- ఏదైనా ఒక విషయంలోని సమస్యను మరో విషయంలోని సమస్యతో పరిష్కరించడమే సహసంబంధ….
11) బాల్టిక్‌- సంఖ్యలు మానవుని మేధస్సుకు సాక్ష్యాలు. ఇవి మానవజాతికి మాత్రమే పరిమితం
12) భాస్కరాచార్యుడు- సముద్రమంత గణితానికి అంతు ఎక్కడిది

• సూర్యుడు పద్మాలను వికసింపజేసినట్లు ప్రాచీన రుషులు గుర్తులు, సాంకేతికాలతో ఉండే విశ్లేషణలతో గణితాన్ని ప్రకాశమానం చేశారు. ఇది ఇప్పుడు బీజగణితంగా పేరు పొందింది

13) బెర్నాల్డ్‌ రస్సెల్‌- గణితంలో సత్యమే కాదు, సౌందర్యం కూడా ఉంది

• పరస్పర సంగతాలైన స్వీకృతాల నుంచి రాబట్టిన ఫలితాల సమగ్రమైన చర్చయే గణితం

14) డేవిడ్‌ వీలర్‌- గణితం గురించి ఎన్నో విషయాలు తెలుసుకునే కంటే ఏ విధంగా గణితీకరించాలని తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరం
15) యూరిపిడిస్‌- జ్యామితీ బలీయమైనది. దీనికి కళను జోడిస్తే గణితానికి ఎదురులేదు
16) యూక్లిడ్‌- జ్యామితీ నేర్వడానికి రాజమార్గం లేదు
17) ఫ్రాన్సిస్‌ బేకన్‌- సకల శాస్ర్తాలకు గణితం మూలం, ద్వారం లాంటిది

• గణితం ఆధునిక నాగరికత, సంస్కృతికి అద్దం వంటిది

18) ఫ్రెడరిక్‌ కార్ల్‌ గాస్‌- గణితం సకల శాస్ర్తాలకు రాణి లాంటిది
19) హెన్రీ పాయింకేర్‌- గణితం అంటే వివిధ వస్తువులను ఒక పేరుతో సూచించే కళ
20) హెగ్‌బెన్‌- గణితం అనేది నాగరికతకు అద్దం లాంటిది
21) హంపెల్‌ సీజీ- గణితంలోని అన్ని భావనలు అంటే బీజగణితం, అంకగణితం, విశ్లేషణలు మొదలైనవి తార్కికమైన భావనలు
22) జాన్‌ లాక్‌- హేతువాదంలో మానవుని మేధస్సును స్థిరపరిచే మార్గమే గణితం (జాన్‌ లాక్‌ తన నిర్వచనాన్ని క్రమశిక్షణ, విలువను దృష్టిలో ఉంచుకుని నిర్వచించాడు)
23) జార్జి కాంటర్‌- గణిత సారం అనేది దాని స్వేచ్ఛలోనే దాగి ఉంది
24) జాన్‌ ఆర్బట్‌- గణితం మానవ మేధస్సుకు శక్తిని, పట్టుదలను కలిగించడంతో పాటు మూఢనమ్మకాలు, దురాభిప్రాయాలను, ప్రతి విషయాన్ని తేలికగా నమ్మే లక్షణాన్ని తొలగిస్తుంది
25) కాంట్‌- సామాన్య విజ్ఞానశాస్త్రమంతా కూడా గణితపూర్ణితం
26) కార్లయిల్‌- సంఖ్యలతో/ అంకెలతో ఏదైనా నిరూపించవచ్చు
27) కార్ల్‌ పియర్సన్‌- విజ్ఞాన శాస్త్ర వ్యాకరణమే సాంఖ్యకశాస్త్రం
28) కెజోరి- అంకగణిత ఉత్తమమైన సమీక్ష బీజగణితంలో దాగి ఉంది
29) లైబ్నిజ్‌- సంఖ్యలతో వ్యవహరించక… తెలియకనే జరిగే అంతర్గత విషయం లేదా అభ్యసనమే గణితం

• ఈ విశాల విశ్వమంతటా అన్నీ కూడా గణితీయంగానే సంభవిస్తాయి
• గణితాన్ని సమస్యల చరిత్రగా ప్రదర్శించాలి

30) మేరియా పియరీ- పరికల్పిత ఉత్పాదక వ్యవస్థయే గణితం
31) మ్యాథమెటిక్స్‌- ఆకారం, పరిమాణం, అమరికల తార్కిక అధ్యయనం

• డిక్షనరీ- అంతరాళం, సంఖ్యలకు సంబంధించిన శాస్త్రం గణితం

32) నెపోలియన్‌- దేశాభివృద్ధిని సాధించగల గణితం మరువరానిది

• ఒక దేశ అభివృద్ధిని తెలుసుకోవాలంటే ముందుగా ఆ దేశ గణిత అభివృద్ధిని తెలుసుకోవాలి

33) నాథావియల్‌ వెస్ట్‌- ప్రపంచ ఏకైక భాషయే గణితం
34) నికోలస్‌లోబ చావిస్కీ- గణితానికి శాఖలు లేవు. నిజ జీవిత ఉపయోగం తప్ప
35) ఎన్‌సీఎఫ్‌ 2005- గణితశాస్త్ర ముఖ్య ఉద్దేశం విద్యార్థుల్లో గణిత సమస్య సాధనా విధానాన్ని పెంపొందించడం

• గణిత అభ్యసనం అంటే ఒకరితో ఒకరు తోటి విద్యార్థులతో మాట్లాడాల్సిన, చర్చించాల్సిన అవసరంగా చర్చిస్తారు.

36) నేషనల్‌ ఫోకస్‌ గ్రూప్‌ ఆన్‌ టీచింగ్‌ మ్యాథమెటిక్స్‌ పేపర్‌ 2006- గణితం అంటే ఒకరితో ఒకరు చర్చించి విద్యార్థుల జీవిత అనుభవంలో ఒక భాగంగా తీర్చిదిద్దాల్సిన అవసరం ఉంది. అప్పుడే నువ్వు గణితాన్ని బోధించినట్లు
37) పావులూరి మల్లన్న- గణితం సూత్రప్రయుక్త లేదా అనుప్రయుక్త శాస్త్రం
38) పాస్కల్‌- ఆత్మ ఉత్తమోత్తమ అభ్యసనమే గణితం. ఇది ప్రపంచ వృత్తుల్లో అన్నింటిలో కెల్లా చక్కనిది
39) ప్లేటో- జ్యామితి అంటే ఇష్టపడని వాళ్లు నా తరగతి గదిలో ప్రవేశించరాదు
40) పైథాగరస్‌- సంఖ్యలే విశ్వ శాసనకర్తలు
41) ప్రియరీ సైమన్‌, ఆప్లాన్‌- సాధారణ విచక్షణను గణనరూపంలోకి మార్చడమే సంభావ్యత
42) రెనె డెకార్డె- క్రమం, మాపనాలకు చెందిన శాస్త్రం గణితం
43) రాష్ట్రీయ ఆవిష్కార్‌ అభియాన్‌- గణిత అధ్యయనం అనేది తరగతి గది నాలుగ్గోడలకు మాత్రమే పరిమితం కాదు
44) స్మిత్‌- ఆధునిక కార్యకలాపాలైన వాణిజ్యం, పరిశ్రమలు, ప్రభుత్వ యంత్రాంగం మొదలైనవి గణిత శాస్త్ర తర్కం ప్రకారం ప్రదర్శించవచ్చు
45) స్వామి దయానంద తీర్థ- గణితం అనేది పరిమితత్వం నుంచి అపరిమితత్వానికి కొనసాగుతుంది
46) వేదాంగ జ్యోతిష్యం- నెమళ్లకు శిఖ వలె, పాములకు మణుల వలె గణితశాస్త్రం సకల శాస్ర్తాలకు కూడా అగ్రభాగంలో ఉంటుంది
47) వార్విక్‌ సాయర్‌- వర్గీకరించడం, సాధ్యపడే అన్ని అమరికల గురించి తెలుసుకోవడమే గణితం
48) వైట్‌హుడ్‌, రసెల్‌- గణితానికి తర్కమే పునాది గణితశాస్త్ర భావనలు అన్ని కూడా పూర్తిగా తార్కిక నిర్మాణం వల్ల ఏర్పడ్డాయి
నోట్‌: వీరు Principia of Mathematica అనే గ్రంథాన్ని రచించారు
49) వైట్‌హుడ్‌, ఆల్ఫ్రెడ్‌ వర్త్‌- ప్రపంచ పర మాణాత్మక దృక్పథం సుస్పష్టం చేయడానికి రూపొందించిన బౌద్ధిక ఉపకరణమే గణితం

• ఎన్‌సీఎఫ్‌ 2005- పిల్లలు గణితాన్ని భయపడకుండా ఆనందంగా అభ్యసించాలి
• గణిత శాస్త్రం గణిత వ్యక్తీకరణ, స్పష్టత, సంక్షిప్తత, సందిగ్ధం లేని భాష, కచ్చితమైన సూత్రీకరణ లక్ష్యాలను కలిగి ఉండాలని పేర్కొంది.

స్వభావం

1) గణిత శాస్త్రం వరుసక్రమాలపై ఆధారపడుతుంది

• గణితంలోని భావనలు క్రమానుగతంగా ఒకదానిమీద మరొకటి ఆధారపడతాయి.
• గణిత భావనలను నిచ్చెనల పద్ధతి (కాన్సెప్ట్‌ ఆఫ్‌ ల్యాడర్‌)లో బోధించాలి.
• ఒక విద్యార్థి ఏదైనా గణిత భావనను అవగాహన చేసుకోవడంలో వెనుకబడితే దానికి కారణం దానికి ముందు ఆధారపడిన ముందు బోధనా సమయంలో హాజరుకాకపోవడం లేదా దాని మీద సంపూర్ణ అవగాహన లేకపోవడమో అయి ఉంటుంది. దీన్ని ఉపాధ్యాయుడు గుర్తించి లోపాన్ని సరిచేయాలి (రెమెడియల్‌ టీచింగ్‌).

ఉదాహరణలు

ఎ. సంఖ్యామానం బోధించిన తర్వాత సంజ్ఞామానం బోధించడం
బి. చతుర్విధ ప్రక్రియలు వరుసక్రమంలో బోధించడం
సి. సమితులు బోధించిన తర్వాత సంబంధాలు దాని తర్వాత ప్రమేయాలు బోధించడం
డి. శాతాలు-> నిష్పత్తులు-> అనుపాతం తర్వాత వరుసగా -> అనులోమానుపాతం
-> విలోమానుపాతం
-> మిశ్రమానుపాతం

ప్ర: ప్రమేయాలను బోధించిన ఉపాధ్యాయుడు ఉపయోగించిన విధానం కింది ఏ లక్షణాన్ని తెలియజేస్తుంది? (4)

1) గణితం అమూర్తీకరణ శాస్త్రం
2) గణితం కచ్చితత్వాన్ని కలిగిన శాస్త్రం
3) గణితం సరిచూసే పద్ధతి
4) గణితం క్రమానుగతం

ప్ర: గణిత భావనలు నిచ్చెనల పద్ధతిలో బోధించాలి. ఈ వాక్యం కింది ఏ గణిత లక్షణాన్ని తెలియజేస్తుంది? (3)

1) గణితం హేతువాద లక్షణం
2) గణితం సంకేతాలు కలిగిన భాష
3) గణితం వరుసక్రమాలపై ఆధారపడుతుంది
4) గణితం విశ్లేషణాత్మకం

2) గణితం అమూర్త లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటుంది

• గణితం పూర్తిగా అమూర్తీకరణ శాస్త్రం. ఇది అమూర్తచింతనా శక్తిని పెంపొందిస్తుంది.

ఉదా-1: సంఖ్య అనేది అమూర్త భావన. ‘రెండు’ ఆకులు. 2 అనేది అమూర్త భావన.
ఉదా-2: రెండు, మూడులను కలపడానికి 2 గోళీలను, 3 గోళీలను కలిపి చూపించి దాని నుంచి 2, 3 ల మొత్తం 5 అని రాబట్టడం

3) గణితం అనేది సంకేతాలు కలిగిన, గుర్తులను కలిగిన భాష

• గణిత శాస్త్ర భావనలు, సూత్రాలు, సంకేతాలతో తెలపబడతాయి.

ఉదా-1: I = PTR/100 అనే సూత్రంలో I అంటే వడ్డీ అని, P అంటే అసలు అని, T అంటే టైం అని, R అంటే రేట్‌ అని సూచించడం
ఉదా-2: సంకలనం= +, వ్యవకలనం= -, భాగహారం= %, గుణకారం= X, సమానం = అని సంకేతాలతో సూచించడం
ఉదా-3: సమాంతరం= //, ఎక్కువ >, తక్కువ <, లంబం …అని గుర్తులతో సూచించడం
నోట్‌: గణిత సంకేతాలు విషయాన్ని సంక్షిప్తంగా, సరళంగా చెప్పడానికి తోడ్పడతాయి.

ప్ర: లక్ష్మి అనే ఆరో తరగతి విద్యార్థిని 10 అనేది ఎనిమిది కంటే పెద్దది అనే విషయాన్ని 10>8 చూపించింది. ఇది కింది ఏ గణిత లక్షణాన్ని తెలియజేస్తుంది?

1) గణితం విశ్లేషణాత్మకం
2) గణితం సరిచూపే పద్ధతి
3) సంకేతాలు కలిగిన భాష
4) గణితం క్రమానుగతం

4) గణితం సరిచూసే పద్ధతిని కలిగి ఉంటుంది

• గణిత శాస్ర్తానికి ఇది విశిష్ట స్వభావం

ఉదా: 4X+1 = 25
4X = 24
X = 6
4(6)+1 = 25
24+1 = 25
25 = 25

నోట్‌: విద్యార్థి సాధించిన సమస్యలను ఎప్పటికప్పుడు సరిచూసుకోవడం ద్వారా విద్యార్థి ‘పునర్బలనానికి’ గురవుతాడు.

– రవి కుమార్‌
ఏకేఆర్‌ స్టడీ సర్కిల్‌
వికారాబాద్‌